Cho hình chữ nhật $ABCD$ như hình vẽ. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Tính thể tích hình trụ thu được khi quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh trục MN. Biết $AB=a;BC=b$

Cho mặt cầu tâm O, bán kính $R=13$ . Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu sao cho giao tuyến là đường tròn đi qua ba điểm $A,B,C$ mà $AB=6;BC=8;CA=10$ . Tính khoảng cách từ $O$ đến $\left( P \right)$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AD=2a,AB=a$ , cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AMD$.

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác ABC có $A\left( 1;1;3 \right);B\left( 2;6;5 \right)$ và tọa độ trọng tâm $G\left( -1;2;5 \right)$. Tìm tọa độ điểm C.

Cho điểm $I\left( 1;2;3 \right)$ . Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I và cắt mặt phẳng $\left( P \right):x+y+2z+3=0$ với thiết diện là hình tròn có đường kính bằng 2

Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;-2;3 \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( \beta  \right):2x-3y+z+5=0$

Cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình $3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$ . Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ . Viết phương trình mặt phẳng $\left( \beta  \right)$ đi qua M và vuông góc với đường thẳng D

Trong không gian với hệ tọa độ, cho 4 điểm $A\left( -2;6;3 \right),B\left( 1;0;6 \right),C\left( 0;2;1 \right),D\left( 1;4;0 \right)$ . Tính chiều cao $AH$ của tứ diện ABCD.

Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng:

$d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-1}$ và $d'=\left\{ \begin{matrix} x=2-2t'  \\ y=-2+t  \\  z=1+3t'  \\ \end{matrix} \right.$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( 1;1;3 \right);B\left( 2;3;5 \right);C\left( -1;2;6 \right)$. Xác định điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=0$.

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-2y+2z+5=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x-2y+6z+m=0.$ $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ giao nhau khi:

Tìm $m$ để phương trình

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2\left( 2m-3 \right)y+2\left( 2m+1 \right)z+11-m=0$

là phương trình một mặt cầu.

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x-1$ . Mệnh đề nào sau đây là sai ?

Tập xác định của hàm số $y=\frac{\sqrt{2x+1}}{3-x}$ là:

Tìm m để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}+2mx+3m+4}$ có đúng một đường tiệm cận đứng

Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,a\ne 0$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Oy. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}-x+1$ có đồ thị (C) và đường thẳng $d:y=-x+{{m}^{2}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hàm số $y=2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x+4$ nghịch biến trên khoảng nào ?

Đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-13x+6$có mấy điểm cực trị ?

Với giá trị nào của m để đường thẳng $y=x+m$ đi qua trung diểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x$ ?

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{3}}-3x-1$ trên đoạn $\left[ -1;4 \right]$ là:

Đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}$ không có tiệm cận ngang khi và chỉ khi:

Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.

Tìm nghiệm của bất phương trình ${{32.4}^{x}}-{{18.2}^{x}}+1<0$