Phân tích: Đây là dạng bài tìm tiệm cận, ta cùng nhớ lại kiến thức sách giáo khoa như sau:

Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ  thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty ;\,\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,=-\infty $

$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty ;\,\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,=+\infty $

Vậy để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}+2mx+3m+4}$ chỉ có đúng một tiệm cận đứng thì phải thỏa mãn một trong các điều kiện  trên. Nhận thấy đây là hàm phân thức có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu, khi đó tiệm cận đứng $x={{x}_{0}},\,{{x}_{0}}$ là giá trị làm cho đa thức dưới mẫu không xác định, do đó để đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng thì phương trình ${{x}^{2}}+2mx+3m+4=0$ có duy nhất một nghiệm, hoặc phương trình ${{x}^{2}}+2mx+3m+4=0$ có một nghiệm $x=-1$ và một nghiệm khác -1.

TH1: phương trình có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta '=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=4 \\ & m=-1 \\ \end{align} \right.$

TH2: phương trình có một nghiệm bằng -1 một nghiệm khác -1, khi đó ta có

${{\left( -1 \right)}^{2}}+2.\left( -1 \right).m+3m+4=0$

$\Leftrightarrow m+5=0\Leftrightarrow m=-5$

Thử lại thấy với $m=-5$ phương trình có hai nghiệm phân biệt (thỏa mãn).

Vậy đáp án của chúng ta là D.

Phân tích sai lầm: ở đây nhiều quý độc giả quên TH2 và thiếu TH $m=-5$ và  chọn đáp án. Hãy

xem xét một cách tổng quan để có đầy đủ các TH của bài toán.