Phân tích: Độ dài đường cao AH chính là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng đáy $\left( BCD \right)$

Vì đề đã cho tất cả tọa độ các điểm của tứ diện ABCD nên ta có thể viết được phương trình mặt phẳng đáy $\left( BCD \right)$. Có tọa độ điểm A và phương trình mặt phẳng đáy ta có thể tính được khoảng cách từ A đến mặt phẳng đáy.

1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( BCD \right)$:

Như ở đề số 2 tôi đã đề cập về cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm: $\overrightarrow{BC}=\left( -1;2;-5 \right);\overrightarrow{CD}=\left( 1;2;-1 \right)$

${{\overrightarrow{n}}_{BCD}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD} \right]=\left( 8;-6;-4 \right)$

(Với bước này quý độc giả có thể sử dụng cách bấm máy để tính tích có hướng của hai vecto và ra được tọa độ của vtpt như trên).

Khi đó (BCD) qua $\left( 1;0;6 \right)$ và có vtpt $\overrightarrow{n}=\left( 8;-6;-4 \right)$ . Khi đó $\left( BCD \right)$: $8x-6y-4z+16=0$ $\Leftrightarrow 4x-3y-2z+8=0$

2. Tính khoảng cách $AH=\frac{\left| 4.\left( -2 \right)-3.6-2.3+8 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\frac{24}{\sqrt{29}}$