Phân tích:

Bước 1: Tìm được giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$. Nếu để phương trình đường thẳng như đề cho quý độc giả sẽ không tìm được tọa độ giao điểm. Vậy tại sao không chuyển về dạng tham số t. Chỉ còn một biến, khi đó thay vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta sẽ tìm được ngay điểm đó.

$d:\left\{ \begin{matrix} x=12+4t  \\ y=9+3t  \\ z=1+t  \\ \end{matrix} \right.$. Khi đó thay vào phương trình $\left( \alpha  \right)$ ta được $3\left( 12+4t \right)+5\left( 9+3t \right)-\left( 1+t \right)-2=0$ $\Leftrightarrow t=-3$ $\Rightarrow M\left( 0;0;-2 \right)$

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \beta  \right)$.

$\left( \beta  \right)$ vuông góc với $d\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}={{\overrightarrow{n}}_{\left( \beta  \right)}}=\left( 4;3;1 \right),$ $\left( \beta  \right)$ qua $M\left( 0;0;-2 \right)$

$\Rightarrow \left( \beta  \right):4x+3y+z+2=0$