Cho hình chóp lục giác đều SABCDEF có $SA=5;AB=3$. Tính thể tích khối chóp SABCDE.

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD quanh MN thành một hình trụ. Gọi (S) là mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình trụ, ta có bán kính của mặt cầu (S) là:

Cho $A';B';C'$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA;SB;SC$của hình chóp SABC. Xác định tỉ số $\frac{{{V}_{A'B'C'ABCD}}}{{{V}_{SABC}}}$.

Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có thể tích là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.

Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 m³ để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:

Trong không gian Oxyz cho điểm $H\left( 2;3;4 \right)$. Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua H và cắt ba trục tọa độ tại các điểm A; B; C sao cho H là trực tâm $\Delta ABC$.

Trong không gian Oxyz cho hai điểm $A\left( 0;1;1 \right);B\left( 1;2;3 \right)$ và mặt phẳng (P): $x+2y+3z=4$. Tìm tọa độ giao điểm M của AB với mặt phẳng (P).

Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 17 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lặng tự luc giác đều có cạnh 14 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng 30 cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390 cm. Tính lượng vữa hỗn hợp cần dùng (tính theo đơn vị m³, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy). Ta có kết quả:

Giải phương trình ${{\log }_{3}}\left( 2x-1 \right)=2$, ta có nghiệm là:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A\left( 0;1;2 \right);B\left( -1;1;4 \right);C\left( 1;1;3 \right)$. Tìm tọa độ trọng tâm G của $\Delta ABC$ nếu có:

$\int{x{{e}^{{{x}^{2}}+1}}dx}$bằng:

Trong không gian Oxyz cho $A\left( 1;-2;1 \right);B\left( 0;2;0 \right)$. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A; B và có tâm nằm trên trục Oz.

Cho hàm số  $f\left( x \right)=\frac{1}{x+2}$. Hãy chọn mệnh đề sai:

Trong không gian Oxyz cho bốn vecto $\overrightarrow{a}=\left( 0;1;3 \right);\overrightarrow{b}=\left( -1;2;1 \right);\overrightarrow{c}=\left( 2;1;3 \right);\overrightarrow{d}=\left( 1;1;-1 \right)$. Cặp vecto vuông góc với nhau là:

Giải bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( 5x-3 \right)>5$, ta có nghiệm là:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-3{{m}^{2}}+5$ đạt cực đại tại x = 1. Ta có kết quả:

Trong không gian Oxyz cho $A\left( 1;2;4 \right)$ và mặt phẳng (P): $x+2y+3z=5$. Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A\left( 2;3;1 \right)$ và đi qua tâm của mặt cầu (S) có phương trình: $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2y-4z-3=0$.

Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là:

Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$. Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y=F\left( x \right)$ đi qua $M\left( \frac{\pi }{3};0 \right)$ thì F(x) là:

$\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-x-2}dx}$ bằng:

Cho đường cong ($\Gamma $) được vẽ bởi nét liền trong hình vẽ:

Hỏi ($\Gamma $) là dạng đồ thị của hàm số nào?

Nếu ${{\log }_{12}}6=a;{{\log }_{12}}7=b$ thì:

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{5x-3}{{{x}^{2}}-2mx+1}$ không có tiệm cận đứng. Ta có kết quả: