+Từ giả thiết $AC=2a\sqrt{3};BD=2a$ và $AC,BD$ vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và $AO=a\sqrt{3}$; $BO=a$, do đó $ABD={{60}^{0}}$

Hay tam giác ABD đều.

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là $SO\bot \left( ABCD \right)$.

+Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có $DH\bot AB$ và $DH=a\sqrt{3}$; $OK//DH$ và $OK=\frac{1}{2}DH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow OK\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( SOK \right)$.

+Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có $OI\bot SK$; $AB\bot OI\Rightarrow OI\bot \left( SAB \right)$, hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao

$\Rightarrow \frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{K}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\Rightarrow SO=\frac{a}{2}$

Diện tích đáy:

${{S}_{ABCD}}=4{{S}_{\Delta ABO}}=2.OA.OB=2\sqrt{3}{{a}^{2}}$;

Đường cao của hình chóp $SO=\frac{a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$:

${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$

Vậy đáp án đúng là A.

(trích đề thi thử Lộc Hưng – Tây Ninh 2016)

Sai lầm thường gặp: Khả năng tính toán bài này rất dễ nhầm.