Hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ đạt cực trị tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ nằm hai phía trục tung khi và chỉ khi:

Đồ thị hàm số nào sau đây luôn nằm phía trên trục hoành:

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+10$trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ lần lượt là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( 12;-5;8 \right),M\left( 3;5;1 \right)$ và $N\left( -1;1;3 \right)$. Phương trình mặt phẳng (P) chứa MN và cách A một khoảng có độ dài lớn nhất là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ và $\left( {{d}_{2}} \right):\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=2+2t \\  & z=3-2t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$. Kết luận gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng nêu trên?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left( 0;2;3 \right),B\left( -5;3;2 \right)$, $C\left( -7;4;2 \right),D\left( -2;0;1 \right)$. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều cả 4 điểm đã cho?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;2;3 \right)$ và $B\left( -3;-;3;2 \right)$. Tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho M cách đều hai điểm A, B là:

 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;-1;2 \right)$, $B\left( 3;0;-4 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-5=0$. Giả sử tồn tại mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P). Số mặt phẳng (Q) thỏa mãn là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-3z+1=0$ và điểm $I\left( 3;-5;-2 \right)$. Tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu tâm I tiếp xúc (P) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z+1}{1}$ và điểm $M\left( 2;-1;3 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $K\left( 1;0;0 \right)$, song song với đường thẳng d đồng thời cách điểm M một khoảng bằng $\sqrt{3}$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left( -3;1;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):2x+2y+z-7=0$. Giả sử mặt cầu (S) tâm M cắt mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4. Khi đó phương trình mặt cầu (S) là:

Cho tứ diện đều S.ABC có thể tích là V, độ dài cạnh là a. Trên các cạnh $SA,SB,SC$lấy các điểm $M,N,P$sao cho $SM=3MA,SN=\frac{1}{5}SB,\frac{SP}{2SP+PC}=\frac{1}{3}$. Gọi $V'$ là thể tích của hình chóp S.MNP. Khi đó giá trị của $V'$tính theo a là:

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác cân tại A, $BC=a$, $AA'=a\sqrt{2}$ và $\cos \widehat{BA'C}=\frac{5}{6}$. Khi đó phân nửa thể tích hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $\sqrt{3}$, $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=\sqrt{6}$. Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó bình phương khoảng cách từ M đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là:

Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $\text{A}'.ABD$là hình chóp đều, $AB=a,AA'=2a$. Thể tích hình hộp là:

Cho khối cầu (S) tâm O, bán kính R ngoại tiếp khối lập phương (P) và nội tiếp khối trụ (T). Gọi ${{V}_{\left( P \right)}},{{V}_{\left( T \right)}}$lần lượt là thể tích của khối lập phương (P) và khối trụ (T). Giá trị gần đúng của tỉ số $\frac{{{V}_{\left( P \right)}}}{{{V}_{\left( T \right)}}}$là:

Thể tích hình chóp đều $S.ABC$ có $SA=2a$và $AB=a$ là:

Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh là a, người ta gấp nó thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều (như hình vẽ). Từ một mảnh giấy hình vuông khác cũng có cạnh là a, người ta gấp nó thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác đều (như hình vẽ). Gọi ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$lần lượt là thể tích của lăng trụ tứ giác đều và lăng trụ tam giác đều. So sánh ${{V}_{1}}$ và ${{V}_{2}}$.

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên $SA\bot \left( ABC \right)$ và tam giác ABC vuông tại B. Biết rằng $AS=2a$, $AB=2a$, $AC=3a$. Thể tích hình chóp là:

Cho các số phức ${{z}_{1}}=24-i,{{z}_{2}}=-i,{{z}_{3}}=27-2i$và ${{z}_{4}}=6-4i$. Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}$. Hỏi tứ giác ABDC là hình gì?

Chọn phát biểu không đúng

Cho số phức z thỏa mãn $z+1=\frac{z-7}{z-2}$. Giá trị của $\left| \frac{z+2i}{\overline{z}-i} \right|$là:

Cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Giả sử rằng $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|$, khi đó:

Bán kính của đường tròn biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức $\left| z+3-2i \right|=\left| 2z+1-2i \right|$trong mặt phẳng phức là:

Để tính $\int{{{x}^{2}}\cos xdx}$theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt: