Ta có đường chéo của hình lập phương chính là đường kính của khối cầu. Mặt khác ta lại có công thức: Bình phương độ dài đường chéo của hình lập phương bằng ba lần bình phương của độ dài cạnh hình lập phương. Do đó ${{\left( 2R \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow a=\frac{2R\sqrt{3}}{3}$, suy ra

${{V}_{\left( P \right)}}={{\left( \frac{2\sqrt{3}}{3}R \right)}^{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}{{R}^{3}}$.

Vì khối cầu có bán kính R nên ta dễ dàng tính được bán kính và chiều cao của khối trụ ngoại tiếp ngoài khối cầu lần lượt là R và 2R, suy ra ${{V}_{\left( T \right)}}=\pi {{R}^{2}}.2R=2\pi {{R}^{3}}$.

Do đó $\frac{{{V}_{\left( P \right)}}}{{{V}_{\left( T \right)}}}=\frac{\frac{8\sqrt{3}}{9}{{R}^{3}}}{2\pi {{R}^{3}}}=\frac{4\sqrt{3}}{9\pi }\approx 0,245$.

Ta chọn phương án C.