Cho số phức z biết $z+2\overline{z}=\frac{\left( 1-i\sqrt{2} \right){{\left( 1+i \right)}^{2}}}{2-i}\,\,\,(1)$. Tìm tổng phần thực và phần ảo của z

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho $u=\frac{z+2+3i}{z-i}$ là một số thuần ảo. Là một đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$

Tính tổng a + b

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M,N, P là điểm biểu diễn của 3 số phức:

${{z}_{1}}=8+3i;{{z}_{2}}=1+4i;{{z}_{3}}=5+xi$. Với giá trị nào của x thì tam giác MNP vuông tại P?

Số nào sau đây là căn bậc 2 của: $3+4i$

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BCD}={{120}^{0}};AA'=\frac{7a}{2}$. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BCD}={{120}^{0}};AA'=\frac{7a}{2}$. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a khoảng cách từ D’ đến mặt phẳng (ABB’A’)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), $SA=a\sqrt{3}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$, góc $\angle ACB={{30}^{0}}$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Một cái rổ (trong môn thể thao bóng rổ) dạng một hình trụ đứng, bán kính đường tròn đáy là r (cm), chiều cao 2r (cm), người đặt hai quả bóng như hình. Như vậy diện tích toàn bộ của rổ và phần còn lại nhô ra của 2 quả cầu là bao nhiêu. Biết rằng mỗi quả bóng bị nhô ra một nửa.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, $SC=SD=a\sqrt{3}$. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Gọi I là trung điểm của AB; J là trung điểm của CD. Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD). Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt DA và CB kéo dài tại M,N. Các nhận định sau đây.

1 Tam giác SIJ là tam giác có $\widehat{SIJ}$ tù

2 $\sin \widehat{SIH}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

3 $\widehat{MSN}$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)

4 $\cos \widehat{MSN}=\frac{1}{3}$

Chọn đáp án đúng:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC, A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng A. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

Một vật thể có dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy và độ dài của nó đều bằng 2r (cm). Người ta khoan một lỗ cũng có dạng hình trụ như hình, có bán kính đáy và độ sâu đều bằng r (cm). Thể tích phần vật thể còn lại (tính theo cm³) là:

Một lọ nước hoa thương hiệu Q được thiết kế vỏ dạng nón, phần chứa dung dịch nước hoa là hình trụ nội tiếp hình nón trên. Hỏi để vẫn vỏ lọ nước hoa là hình nón trên. Tính tỉ lệ giữa x và chiều cao hình nón để cho lọ nước hoa đó chứa được nhiều dung dịch nước hoa nhất.

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M trên d, $M\left( 1;2;-1 \right),d:\left\{ \begin{align}  & x=2-t \\  & y=1+2t \\  & z=3t \\ \end{align} \right.$

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm $A\left( 2;-3;1 \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}  & x=4+2t \\  & y=2-3t \\  & z=3+t \\ \end{align} \right.$

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song:

${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2+3t \\  & y=4+2t \\  & z=-1+t \\ \end{align} \right.,$${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=-2+3t' \\  & y=-3+t' \\  & z=-1+t \\ \end{align} \right.$