Thể tích lăng trụ là: $V=AA'.{{S}_{ABC}}=a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC,\Delta A'B'C'$ khi đó tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’. Mặt cầu này có bán kính là:

$R=IA=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$