Giả sử $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$có điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn z trên mặt phẳng (Oxy)

Khi đó $u=\frac{z+2+3i}{z-i}=\frac{x+2+yi+3i}{x+\left( y-1 \right)i}=\frac{\left[ x+2+\left( y+3 \right)i \right]\left[ x-\left( y-1 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$

Từ số bằng:${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3+2\left( 2x-y+1 \right)i$; u là số thuần ảo khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3=0 \\  & {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ne 0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=5 \\  & {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ne 0 \\ \end{align} \right.$

Kết luận: Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường tròn tâm $I\left( -1;-1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{5}$, loại đi điểm $\left( 0;1 \right)$