Cho hình chữ nhật $ABCD$ như hình vẽ. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Tính thể tích hình trụ thu được khi quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh trục MN. Biết $AB=a;BC=b$

Cho mặt cầu tâm O, bán kính $R=13$ . Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu sao cho giao tuyến là đường tròn đi qua ba điểm $A,B,C$ mà $AB=6;BC=8;CA=10$ . Tính khoảng cách từ $O$ đến $\left( P \right)$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AD=2a,AB=a$ , cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AMD$.

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác ABC có $A\left( 1;1;3 \right);B\left( 2;6;5 \right)$ và tọa độ trọng tâm $G\left( -1;2;5 \right)$. Tìm tọa độ điểm C.

Cho điểm $I\left( 1;2;3 \right)$ . Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I và cắt mặt phẳng $\left( P \right):x+y+2z+3=0$ với thiết diện là hình tròn có đường kính bằng 2

Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;-2;3 \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( \beta  \right):2x-3y+z+5=0$

Cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình $3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$ . Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ . Viết phương trình mặt phẳng $\left( \beta  \right)$ đi qua M và vuông góc với đường thẳng D

Trong không gian với hệ tọa độ, cho 4 điểm $A\left( -2;6;3 \right),B\left( 1;0;6 \right),C\left( 0;2;1 \right),D\left( 1;4;0 \right)$ . Tính chiều cao $AH$ của tứ diện ABCD.

Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng:

$d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-1}$ và $d'=\left\{ \begin{matrix} x=2-2t'  \\ y=-2+t  \\  z=1+3t'  \\ \end{matrix} \right.$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( 1;1;3 \right);B\left( 2;3;5 \right);C\left( -1;2;6 \right)$. Xác định điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=0$.

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-2y+2z+5=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x-2y+6z+m=0.$ $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ giao nhau khi:

Tìm $m$ để phương trình

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2\left( 2m-3 \right)y+2\left( 2m+1 \right)z+11-m=0$

là phương trình một mặt cầu.

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x-1$ . Mệnh đề nào sau đây là sai ?

Tập xác định của hàm số $y=\frac{\sqrt{2x+1}}{3-x}$ là: