(AMSTERDAM 2014 – 2015 )Cho hình bình hành ABCD. Gọi P là điểm chính giữa của BC; Q là điểm chính giữa của DC, I là điểm thuộc đoạn DC sao cho DC = 3IC. Hai đoạn thẳng PQ và BI cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác APQ khi biết diện tích tam gián OPI bằng 3 $c{{m}^{2}}$ ?

(AMSTERDAM 2000 – 2001)Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 18cm; BC = 22cm. Biết các tam giác ABD, AEG, CDE, DEG có diện tích bằng nhau. Tính AE, DC ?

(AMSTERDAM 1999 – 2000)Cho hình chữ nhật ABCD và các điểm M, O, I sao cho: MI = ID và AO = OI ( xem hình vẽ). Tính diện tích hình chữ nhật ABCD ?

Biết diện tích tam giác MOI bằng 25 m². Hỏi diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu mét vuông ?

(AMSTERDAM 1995 – 1996)Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ bằng AB bằng 10,8 cm. Đáy lớn DC bằng 27 cm. Nối A với C. Tính diện tích tam giác ADC, biết diện tích tam giác ABC là 54 cm² ?

(AMSTERDAM 1994 – 1995)Cho hình thang ABCD (đáy AD, BC) hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại điểm M. Tính diện tích các tam giác MAB, MBC, MCD biết rằng AD = 20cm; BC = 10cm và đường cao của hình thang bằng 12cm ?

(AMSTERDAM 1993 – 1994)Cho hình vuông ABCD cạnh 5cm. Từ B và D kẻ hai đường thẳng song song với AC. Từ A kẻ một đường thẳng cắt hai đường thằng song song trên lần lượt tại E và F. Tính diện tích tam giác CEF ?

 ( AMSTERDAM 2013 – 2014 ) Cho 3 hình  vuông MNPG, ABCD và HEFG như hình  vẽ.Tính  tỉ số   diện tích của hình tròn nằm trong hình vuông ABCD và hình tròn nằm trong hình vuông HEFG ?

(Nhập kết quả phân số dưới dạng a/b)

( AMSTERDAM 2012 – 2013) Tổng 2 bán kính của 2 hình tròn bằng 16 cm. Hình tròn lớn có diện tích gấp 9 lần diện tích hình tròn nhỏ. Tìm chu vi của mỗi đường tròn ?

(NGUYỄN TẤT THÀNH 2007 – 2008)

Người ta xếp các hình lập phương cạnh 1cm thành một hình lập phương lớn có diện tích toàn phần là 600cm2. Sau đó người ta sơn tất cả các mặt của khối lập phương đó. Hỏi:

a)Có bao nhiêu hình lập phương nhỏ đã dùng để xếp thành hình lập phương lớn?

b)Có bao nhiêu hình lập phương nhỏ chỉ được sơn đúng một mặt?

(CẦU GIẤY 2014 – 2015)

Cho tứ giác ABCD như hình vẽ có M,N,P,Q lần lượt nằm trên AB, BC, CD, DA sao cho: MA = MB; NB = NC; PC = PD; QA =QD.

Nếu diện tích tứ giác ABCD = 90$c{{m}^{2}}$ thì diện tích của tứ giác MNPA bằng bao nhiêu?

(NGUYỄN TẤT THÀNH 2007 – 2008)  Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng chu vi đám đất hình vuông cạnh 50m. Nếu giảm chiều dài vườn đi 12m và chiều rộng tăng thêm 8m thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Người ta trồng dừa dọc theo hai chiều dài, cây nọ cách cây kia 6m và trồng bạch đàn dọc theo chiều rộng cây nọ cách cây kia 4m sao cho 4 góc vườn là 4 cây dừa. Hỏi trồng được bao nhiêu cây dừa, bao nhiêu cây bạch đàn ?

(MARIE CURIE 2013 – 2014) Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi là 60 cm và chiều dài AB gấp rưỡi chiều rộng BC. Lấy một điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Nối AM kéo dài cắt DC kéo dài tại điểm E. Nối B với E. Nối D với M.

a, Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

b, Chứng minh diện tích tam giác MBE bằng diện tích tam giác MCD (Học sinh tự trình bày)

c, Gọi O là giao điểm của AM và BD. Tính tỉ số OB/OD (Nhập kết quả phân số dưới dạng a/b)

( MARIE CURIE 2013 – 2014) Cho hình thang ABCD có đáy AB = 2 cm, đáy CD gấp đôi đáy AB và diện tích 18 m2. Kéo dài đáy AB về phía B một đoạn BE sao cho BE gấp 3 lần AB. Nối A với C và C với E.

a, Tính chiều cao của hình thang ABCD 

b, Tính tỉ số các chiều cao hạ từ D xuống AC của tam giác ACE và tam giác ACD (Nhập kết quả phân số dưới dạng a/b)

c, Gọi O là điểm chính giữa của AC. Nối E với O cắt BC tại M. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác OMC và ACE

(Nhập kết quả phân số dưới dạng a/b)

( MARIE CURIE 2011 – 2012) Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Biết AB = 15 cm , CD = 20 cm; chiều cao hình thang là 14 cm.Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở E .

a, Tính diện tích hình thang ABCD

b, Tính diện tích tam giác CED

c, Chứng minh hai tam giác AED và BEC có diện tích bằng nhau (Học sinh tự trình bày)

( MARIE CURIE 2011 – 2012) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = $\frac{2}{3}$ AB. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = $\frac{1}{3}$ AC.

a, Nối D với B. Tính tỉ số diện tích của 2 tam giác ABD và ABC (Nhập kết quả dưới dạng phân số a/b)

b, Nối E với D tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác AED là 8$c{{m}^{2}}$ 

c, Nối C với E, CE cắt BD tại G. Tính tỉ số độ dài hai đoạn thẳng EG và CG (Nhập kết quả dưới dạng phân số a/b)

( MARIE CURIE 2009 – 2010) Cho tam giác ABC có diện tích 64cm². Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = $\frac{1}{4}$AB. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = $\frac{1}{4}$ AC. Nối B với N

a)Tính diện tích tam giác BNC ?

b)Tính tỉ số diện tích tam giác AMN và tam giác ABC ? (Nhập kết quả phân số dưới dạng a/b)

c)Qua A vẽ một đoạn thẳng cắt MN ở K và cắt BC ở E. Tính tỉ số $\frac{KE}{AK}$ (Nhập kết quả phân số dưới dạng a/b)

( MARIE CURIE 2008 – 2009) Một mảnh vườn hình tứ giác ABCD người ta mở rộng vườn về các phía bằng cách kéo dài cạnh AB ( về phía B ) , cạnh BC ( về phía c ) , cạnh CD ( về phía D ), Cạnh DA ( về phía A ) và trên các đường kéo dài ấy lần lượt lấy các điểm M , N , P , Q sao cho : BM = AB , CN = CB , DP = CD , AQ = DA . Nối với C , C với M.

a, Chứng minh hai tam giác MBC và tam giác ABC có diện tích bằng nhau (Học sinh tự trình bày)

b, Tìm tỷ số diện tích tam giác BMN và diện tích tam giác ABC (Nhập kết quả dưới dạng phân số a/b)

c,Tính diện tích mảnh vườn MNPQ biết diện tích ABCD là 50${{m}^{2}}$.

( MARIE CURIE 2007 – 2008) Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM = $\frac{1}{3}$ BC. Nối AM. K là một điểm trên đoạn thẳng AM sao cho AK = $\frac{1}{4}$ AM. Nối BK, CK.

a, Tính tỉ số diện tích của tam giác MKC và tam giác BKC

b, Tính tỉ số diện tích của tam giác MKC và tam giác AKC

c, Kéo dài CK cắt AB tại H. Tính tỉ số $\frac{AH}{BH}$

(Viết kết quả phân số dưới dạng a/b)

(MARIE CURIE 2006 – 2007 ) Cho hình chữ nhật ABCD. I là điểm chính giữa cạnh AB. Nối D với I, đoạn thẳng DB cắt đoạn thẳng IC tại K ( hình vẽ )

a, Chứng tỏ rằng ${{S}_{DIB}}=\frac{1}{2}{{S}_{DBC}}$ (Học sinh tự trình bày)

b, Kẻ IP vuông góc với DB; kẻ CQ vuông góc với DB.

- Chứng tỏ rằng ${{S}_{DIC}}=3{{S}_{DIK}}$  (Học sinh tự trình bày)

c, Biết ${{S}_{DIK}}=8c{{m}^{2}}$ . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD ?

( MARIE CURIE 2005 – 2006) Cho tam giác ABC. Trên AB lấy D và E sao cho AD = ED = DB. Trên AC lấy H và K sao cho AH = HK = KC. Trên BC lấy M và N sao cho BM = MN = NC.(hình vẽ).

a, So sánh diện tích hình Tam giác EBM và ADH. (Điền dấu <; = ; > vào chỗ chấm)

b, Biết diện tích tam giác ABC bằng 360 cm². Tính diện tích hình DEMNKH ?

( MARIE CURIE 2004 – 2005) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = $\frac{1}{3}$ AB. Trên AC lấy đểm N sao cho AN = $\frac{1}{4}$ AC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho E là điểm chính giữa cạnh BC.

a, Chứng tỏ rằng ${{S}_{MNCB}}=\frac{5}{6}{{S}_{ABC}}$ (Tự trình bày vào vở)

b, Chứng tỏ rằng ${{S}_{AMN}}={{S}_{EMB}}$ (Tự trình bày vào vở)

c, Biết ${{S}_{ABC}}=24c{{m}^{2}}$. Tính ${{S}_{EMN}}$

( MARIE CURIE 2003 – 2004 ) Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Đoạn thẳng AC cắt đoạn thẳng BD tại O

a, So sánh diện tích hai hình tam giác DAO và BCO (Điền dấu <; = ; > )

b, Biết diện tích hình tam giác BAO bằn 1 cm2 và diện tích hình tam giác DCO bằng 4cm2. Tính diện tích hình thang ABCD ?

c, Tính tỉ số hai đáy của hình thang$\frac{AC}{CD}$ ?

(Nhập kết quả phân số dưới dạng a/b và rút gọn)

( MARIE CURIE 2002 – 2003) Cho tam giác cân ABC cạnh AB bằng cạnh AC. Vẽ đường cao BH và CK. Trên cạnh AB lấy điểm M. Trên AC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho CN bằng BM. Nối M với N, đoạn MN cắt đáy BC tại I (hình vẽ).

a, So sánh độ dài hai đoạn BH và CK? 

b, So sánh diện tích tam giác MIC và diện tích tam giác NIC ?

c, So sánh độ dài hai đoạn IM và IN?

(Điền dấu <; = ; > vào chỗ chấm)

( MARIE CURIE 2001 – 2002 ) Gọi ABC là tam giác thứ nhất. Nối điểm chính giữa các cạnh của tam giác ABC ta được tam giác thứ 2. Nối điểm chính giữa các cạnh của tam giác thứ hai ta được tam giác thứ 3. và cứ tiếp tục vẽ như vậy mãi.

Hỏi:

1. Có tất cả bao nhiêu tam giác trên hình khi ta vẽ như vậy đến tam giác thứ 10?
2. Biết diện tích của tam giác thứ 3 là 15 cm². Tính diện tích tam giác thứ nhất?

( MARIE CURIE 2000 – 2001) Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P , Q lần lươt là các điểm chính giữa của các cạnh AB, BC, CD, DA ( Hình vẽ ). Hãy so sánh diện tích của tứ giác MNPQ và diện tích của tứ giác ABCD. (Nhập kết quả dưới dạng phân số a/b)