Bài giải:

a, Vì $AN=\frac{1}{4}AC$ nên $NC=\frac{3}{4}AC$

${{S}_{BNC}}=\frac{3}{4}{{S}_{ABC}}$ vì chung chiều cao hạ từ B xuống C và đáy NC = $\frac{3}{4}$ AC

Vậy ${{S}_{BNC}}=\frac{3}{4}\times 64=48$ cm²

b, ${{S}_{AMN}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABN}}$ vì chung chiều cao hạ từ N xuống AB và đáy $AM=\frac{1}{4}AB$

${{S}_{ABN}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ vì chung chiều cao hạ từ B xuống AC và đáy $AN=\frac{1}{4}AC$

Vậy ${{S}_{AME}}+{{S}_{ANE}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABE}}+\frac{1}{4}{{S}_{ACE}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}$

Hay ${{S}_{AMEN}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ (1)

Theo câu (b) ta có ${{S}_{AMN}}=\frac{1}{16}{{S}_{ABC}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${{S}_{MEN}}={{S}_{AMEN}}-{{S}_{AMN}}=\frac{3}{16}{{S}_{ABC}}$

=> ${{S}_{MEN}}=3{{S}_{AMN}}$

Hai tam giác MEN và AMN lại chung đáy MN nên chiều cao ED gấp 3 chiều cao AH

=> ${{S}_{EMK}}=3{{S}_{AMK}}$ ( vì chung đáy MK )

Tam giác EMK và tam giác AMK lại có chung chiều cao hạ từ M xuống AE nên KE = 3 AK hay $\frac{KE}{AK}=3$