Tìm tọa độ vecto $\overrightarrow{u}$ biết rằng $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{u}=0$ và $\overrightarrow{a}=\left( 1;-2;1 \right)$

Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x=1+6t  \\ y=-5+3t  \\ z=6-5t  \\ \end{matrix} \right.$

Xác định $m,n,p$ để cặp mặt phẳng $\left( P \right):2x+3y-4z+p=0;$ $\left( Q \right):mx+\left( n-1 \right)y+8z-10=0$ trùng nhau

Mặt phẳng nào sau đây có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 3;1;-7 \right)$

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ với $P\left( 4;-7;-4 \right)$ và $Q\left( -2;3;6 \right)$

Tọa độ hình chiếu của điểm $A\left( -3;2;5 \right)$ lên mặt phẳng $\left( P \right):2x+3y-5z-13=0$ là:

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):2x+y=0$

Cho A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2), D(2;2;2). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:

Cho $A\left( 0;2;-2 \right),B\left( -3;1;-1 \right),C\left( 4;3;0 \right)$ và $D\left( 1;2;m \right)$. Tìm m để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng. Một học sinh giải như sau:

Bước 1: $\overrightarrow{AB}=(-3;-1;1);\overrightarrow{AC}=(4;1;2);\overrightarrow{AD}=(1;0;m+2)$

Bước 2: $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( \left| \begin{matrix} -1 & 1  \\ 1 & 2  \\ \end{matrix} \right|,\left| \begin{matrix} 1 & 3  \\ 2 & 4  \\ \end{matrix} \right|,\left| \begin{matrix} -3 & -1  \\  4 & 1  \\ \end{matrix} \right| \right)=(-3;10;1)$

$\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=3+m+2=m+5$.

Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng $\Leftrightarrow $$\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=0\Leftrightarrow m+5=0$

Đáp số: m = -5

Bài  giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=9$ và đường thẳng ∆: $\frac{x-6}{-3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{2}$. Viết tất cả các phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(4;3;4), song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Cho tam giác ABC với A(0;-1;2), B(3;0;1), C(2;3;0) và hai mặt phẳng

(P): x+2y+z-3=0; (Q): 2x-y-z+3=0. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Gọi ∆ là giao tuyến của (P) và (Q), khi có mặt phẳng (α) đi qua H và chứa ∆ có phương trình:

Gọi (β) là mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\alpha ):3x-2y-z+5=0$ và chứa đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-8}{1}=\frac{z-4}{4}$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là:

Biết rằng đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\tfrac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{-1}$ là tiếp tuyến của mặt cầu tâm I(1;3;5). Bán kính r của mặt cầu có độ dài là:

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A(1;4;-7) và vuông góc với mặt phẳng x+2y-2z+3=0 là:

Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R=10 đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (như hình vẽ). Trong chậu chứa sẵn một khối nước hình chỏm cẩu có chiều cao h=2. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (như hình vẽ). Cho biết công thức tính thể tích của khối chỏm cầu hình cầu (O;R) có chiều cao h là: V_chỏm $=\pi {{h}^{2}}\left( R-\frac{h}{3} \right)$, bán kính của viên bi: