Bé Bách có một tấm bìa có chiều dài 20cm, chiều rộng 1cm. Bé muốn gấp một cái hộp nhỏ xinh để bỏ kẹp tóc vào hộp đó tặng quà cho mẹ ngày 20 tháng 10. Anh Siêu đã chỉ cho bé hai cách gấp hộp. Cách thứ nhất là bé cuốn tấm bìa thành một cái hộp hình trụ không có 2 đáy có thể tích V₁.

Cách thứ hai là bé gập tấm bìa một hình hộp chữ nhật có thể tích V₂ có các kích thước như hình vẽ.

Hãy tìm tỉ số thể tích của 2 hộp để biết được gấp theo cách nào sẽ có thể tích lớn hơn

Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c thì đường chéo d có độ dài là:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, có SA vuông góc với (ABC), tam giác SBC cân tại S. Để thể tích của khối chóp S.ABC là $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ thì góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là:

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và $SA=2a,SA\bot \left( ABCD \right)$. Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD. Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại E. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK.

Mặt cầu tâm O bán kính $R=17\,dm$. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà $AB=18dm,BC=24dm,CA=30dm$. Tính khoảng cách từ O đến (P).

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $3\sqrt{2}$. Tính thể tích của khối nón

Cho hình trụ có bán kính đáy là $R=a$, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng $6{{a}^{2}}$. Diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ là

Cho $M\left( 2;-5;7 \right)$. Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy.

Viết phương trình mặt phẳng qua $M\left( 1;-1;2 \right),N\left( 3;1;4 \right)$ và song song với trục Ox.

Tính thể tích tứ diện OABC biết A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $2x-3y+5z-30=0$ với trục Ox, Oy, Oz.

Tìm m để phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx+2\left( m+1 \right)y-2\left( 2m-3 \right)z+1-4m=0$

Là phương trình một mặt cầu ?

Cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2}$, mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+3=0$ và điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ qua A cắt d và song song với mặt phẳng (P) có phương trình:

Xác định m để đường thẳng $d:\frac{x-13}{8}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-4}{3}$ cắt mặt phẳng $\left( P \right):mx+2y-4z+1=0$.

Lập phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng $d:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=-t \\ & z=2t \\ \end{align} \right.$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng: $\left( P \right):x-2y-2z+5=0;\left( Q \right):2x-y+2z+4=0$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{m}=\frac{y+2}{2m-1}=\frac{z+3}{2}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+3y-2z-5=0$. Để đường thẳng d vuông góc với (P) thì:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2z=0$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):4x+3y+mz=0$ . Xét các mệnh đề sau:

I $\left( \alpha \right)$ cắt (S) theo một đường tròn khi và chỉ khi $-4-5\sqrt{2}

II $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi $m=-4\pm 5\sqrt{2}$

III. $\left( \alpha  \right)$ cắt (S) theo một đường tròn khi và chỉ khi $m<-4-5\sqrt{2}$ hoặc $m>-4+5\sqrt{2}$

Trong ba mệnh đề trên, những mệnh đề nào đúng ?

Trong đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{matrix} x=1+2t  \\ y=2+4t  \\ z=3+t  \\ \end{matrix} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z+1=0$

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định các cặp giá trị $\left( l;m \right)$ để các cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau: $2x+ly+3z-5=0;mx-6y-6z-2=0$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tam giác ABC có $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 3;0;4 \right)$. Tọa độ điểm M trên mặt phẳng Oyz sao cho MC vuông góc với (ABC) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right):2x+y+z+5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{-3}$ . Tọa độ giao điểm của $d$ và $\left( \alpha  \right)$ là:

Cho  mặt phẳng $\left( \alpha  \right):4x-2y+3z+1=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+6z=0$. Khi đó mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai:

Bán kính của mặt cầu tâm $I\left( 3;3;-4 \right)$ tiếp xúc với trục Oy bằng:

Cho điểm $M\left( 0;-1;3 \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{matrix} x=1+2t  \\ y=2t  \\ z=-1+t  \\ \end{matrix} \right.$ . Khoảng cách từ M đến d bằng:

Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh $a$ khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích của khối nón thì có diện tích bề mặt bằng:

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và $SAO={{30}^{0}}$; $SAB={{60}^{0}}$. Tính diện tích xung quanh hình nón ?