Đây là bài toán quen thuộc trong giải hình không gian 12, nếu đã luyện tập nhiều thì khi vẽ xong hình bài này có thể nhận ra luôn AC là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK. Tuy nhiên tôi sẽ trình bày dưới đây để quý độc giả có thể hiểu rõ hơn.

Để xác định khối cầu ngoại tiếp một đa giác, ta tìm đường thẳng mà các đỉnh của đa diện nhìn đường thẳng đó dưới một góc vuông.

Ở đây ta xác định đường đó là AC, nên tôi xin chỉ cách chứng minh như sau:

Ta có thể nhận thấy được B, D nhìn AC dưới một góc 90⁰.

Dễ tính được $SD=a\sqrt{5};KD=\frac{A{{D}^{2}}}{SD}=\frac{{{a}^{3}}}{a\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$

$SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{6}$

Do đề bài cho độ dài các cạnh khá rõ ràng nên ta sẽ dùng định lý Pytago để chứng minh $AKC={{90}^{0}}$.

Ta có $\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{A{{K}^{2}}}\Rightarrow AK=\frac{2a}{\sqrt{5}}\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $SC=S{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}\Rightarrow $tam giác SCD vuông tại D. Khi đó tam giác 2KDC vuông tại D

$KC=\sqrt{C{{D}^{2}}+K{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

Ta có $A{{K}^{2}}+K{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}$. Vậy $AKC={{90}^{0}}$. Chứng minh tương tự thì $AHC={{90}^{0}}$

Đến đây ta có thể kết luận được AC chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK.

Mà $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\frac{a}{\sqrt{2}}$

$V=\frac{4}{3}\pi .O{{A}^{3}}=\frac{4}{3}.\pi .{{a}^{3}}.\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi {{a}^{3}}$