Giải.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại $A\left( 0;1 \right)$, điểm cực tiểu $B\left( 2;-3 \right)$ suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$là $d:2x+y-1=0$

Đường tròn $\left( \Gamma  \right):{{\left( x-m \right)}^{2}}+{{\left( y-m-1 \right)}^{2}}=5$ có tâm $I\left( m;m+1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{5}$, điều kiện d tiếp xúc với $\left( \Gamma  \right)\Leftrightarrow d\left( I,d \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 2m+m+1-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 3m \right|=5\Leftrightarrow m=\pm \frac{5}{3}$

Vậy $m=\pm \frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm (đáp án B)