Giải.

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-3m$

Để hàm số có cực trị thì $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$

Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:

$\Delta :2mx+y-2=0$

Điều kiện để đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt là :

$d\left( I,\Delta  \right)

Gọi H là hình chiếu của I trên AB. Ta có $IH=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Theo bài ra $d\left( I,\Delta  \right)=\frac{2\sqrt{6}}{5}\Leftrightarrow \frac{\left| 2m \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=6\Leftrightarrow m=\sqrt{6}$ hoặc $m=-\sqrt{6}$ (loại)

Vậy $m=\sqrt{6}$ là giá trị cần tìm (đáp án A)