Giải

Tập xác định $D=\mathbb{R}$

Đạo hàm: ${y}'=3{{x}^{2}}-12x+3\left( m+2 \right)$; ${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+m+2=0$   (*)

${\Delta }'=4-\left( m+2 \right)=2-m$

Để hàm số có 2 cực trị thì:  ${\Delta }'>0\Leftrightarrow 2-m>0\Leftrightarrow m<2$

Ta có

$f\left( x \right)=\left[ 3{{x}^{2}}-12x+3\left( m+2 \right) \right]\left( \frac{1}{3}x-\frac{2}{3} \right)-4x+2mx+m-2$

$\Rightarrow$ giá trị cực trị là:$f\left( {{x}_{0}} \right)=-4{{x}_{0}}+2m{{x}_{0}}+m-2$

$=2{{x}_{0}}\left( m-2 \right)+m-2=\left( m-2 \right)\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)$

Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$là 2 điểm cực trị

Hàm số có 2 cực trị cùng dấu $\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right).f\left( {{x}_{2}} \right)>0$

$\Leftrightarrow \left( m-2 \right)\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( m-2 \right)\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)>0$

$\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)>0$

$\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+1 \right)>0$   $\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)>0$    (1)

Mặt khác: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{12}{3}=4$,${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m+2$

Do đó (1) $\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}\left[ 4\left( m+2 \right)+2.4+1 \right]>0$

 $\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}\left( 4m+17 \right)>0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>-\frac{17}{4} \\  & m\ne 2 \\ \end{align} \right.$

Kết hợp với điều kiện có cực trị $m<2$, ta được  $-\frac{17}{4}