Giải.

Đạo hàm $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & {{x}^{2}}=m\left( 1 \right) \\ \end{align} \right.$

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow$Phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác 0$\Leftrightarrow \ m>0$

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$A\left( 0;m-1 \right),\ B\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1 \right),\ C\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1 \right)$. Gọi H là trung điểm của BC nên $H\left( 0;-{{m}^{2}}+m-1 \right)$

Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC={{m}^{2}}\sqrt{m}$;$AB=AC=\sqrt{{{m}^{4}}+m},\ BC=2\sqrt{m}$;$AH={{m}^{2}}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp

$R=\frac{AB.AC.BC}{4{{S}_{\Delta ABC}}}=1\Leftrightarrow \,\frac{\left( {{m}^{4}}+m \right)2\sqrt{m}}{4{{m}^{2}}\sqrt{m}}=1\Leftrightarrow {{m}^{3}}-2m+1=0$

$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=0\Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ \end{align} \right.$ (đáp án A)