Ta có $y'=3{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x-\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right)$

Nhận thấy $y'=0$ có $\Delta '=7{{m}^{2}}-7m+7>0,\forall m\in \left( -\infty ;+\infty  \right)$ nên $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt là ${{x}_{1}}=\frac{m+1-\sqrt{\Delta '}}{3};\text{ }{{x}_{2}}=\frac{m+1+\sqrt{\Delta '}}{3}$

Ta có bảng biến thiên:

Để hàm số đồng biến trên $\left[ 2;+\infty  \right)$ thì ${{x}_{2}}\le 2\Leftrightarrow \frac{m+1+\sqrt{\Delta '}}{3}\le 2\Leftrightarrow \sqrt{\Delta '}\le 5-m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\le 5 \\ & \Delta '\le {{(5-m)}^{2}} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\le 5 \\ & 2{{m}^{2}}+m-6\le 0 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow -2\le m\le \frac{3}{2}$