Giải.

- Hàm số xác định trên khoảng $\left( 1;+\infty  \right)$

- Đạo hàm $y'=\frac{{{x}^{2}}+6x+9-{{m}^{2}}}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}$. Để hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\infty  \right)$ $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le {{x}^{2}}+6x+9,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \underset{\left[ 1;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)$

Xét hàm $g\left( x \right)={{x}^{2}}+6x+9$ liên tục trên $\left[ 1;+\infty  \right)$

Ta có $g'\left( x \right)=2x+3>0,\forall x\in \left[ 1;+\infty  \right)$ nên $g\left( x \right)\ge g\left( 1 \right)=16,\forall x\in \left[ 1;+\infty  \right)$

Do đó $\left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}\le 16 \\& m\in \mathbb{Z} \\\end{align} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$. Chọn đáp án A