Giải.

Ta có $y'=\left( m+2 \right){{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x-\left( 3m-1 \right)\ge 0$

Hàm số đồng biến biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty  \right)$$\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;+\infty  \right)$

- Với $m=-2$, ta có ${y}'=7>0,\forall x\in \left( -\infty ;+\infty  \right)$ nên $m=-2$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty  \right)$.

- Với $m\ne -2$, ta có ${y}'\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a<0 \\ & \Delta \le 0 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m+2>0 \\ & \left( m+2 \right)\left( 4m+1 \right)\le 0 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m>-2 \\ & m\le \frac{-1}{4} \\\end{align} \right.\Rightarrow -2

Vậy $-2\le m\le -\frac{1}{4}$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty  \right)$. Chọn đáp án D