Khá hay

Đáp án: A.

            Cách 1.

Phân tích:  Đặt $t=\tan x$. Ta có $\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow \tan x\in \left( 0;1 \right)$.

Xét hàm số $g\left( t \right)=\frac{t-2}{t-m},\text{ }t\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow {{g}^{/}}\left( t \right)=\frac{2-m}{{{\left( t-m \right)}^{2}}},\text{ }t\in \left( 0;1 \right)$.

Để hàm số $y$ đồng biến trên $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow {{g}^{/}}\left( t \right)>0,\text{ }\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow \frac{2-m}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}>0,\text{ }\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & 2-m>0 \\

 & m\notin \left( 0;1 \right) \\

\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & m<2 \\

 & \left[ \begin{align}

  & m\le 0 \\

 & m\ge 1 \\

\end{align} \right. \\

\end{align} \right.\Rightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ 1;2 \right)$.

            Cách 2. Dùng máy tính CASIO

Nhập ${{\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{\operatorname{tanX}-2}{\tan X-Y} \right) \right|}_{x=X}}$, rồi dùng chức năng CALC với $X=\frac{\pi }{8}$

Nếu $Y=-1$ thì kết quả gần 1,757 > 0. Vậy đáp án A hoặc B

Nếu $Y=1$ thì kết quả gần 3,414 > 0. Vậy chọn đáp án A.