Bài giải :
Ta có tử số bằng: $2008+\frac{2007}{2}+\frac{2006}{3}+\frac{2005}{4}+...+\frac{2}{2007}+\frac{1}{2008}$
(Phân tích 2008 thành 2008 con số 1 rồi đưa vào các nhóm)
= $\begin{align}&(1+\frac{2007}{2})+(1+\frac{2006}{3})+(1+\frac{2005}{4})+...+(1+\frac{2}{2007})+(1+\frac{1}{2008})+1 \\ &=\frac{2009}{2}+\frac{2009}{3}+\frac{2009}{4}+...+\frac{2009}{2007}+\frac{2009}{2008}+\frac{2009}{2009} \\  & =2009\times (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2007}+\frac{1}{2008}+\frac{1}{2009}) \\ \end{align}$

Mẫu số: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2007}+\frac{1}{2008}+\frac{1}{2009}$

Vậy  A = 2009