Bài giải:

+ S_BIN = $\frac{2}{5}$S_BIC (cùng chiều cao hạ từ I xuống đáy BN và BC; BN = $\frac{2}{5}$BC) 

Do S_BIC = S_BIA , nên S_BIN = $\frac{2}{5}$S_BIA.

+ Tam giác BIN và Tam giác BIA có chung đáy BI

 và S_BIN = $\frac{2}{5}$S_BIA , nên chiều cao hạ từ N xuống

đáy BI của tam giác BIN sẽ bằng $\frac{2}{5}$chiều cao hạ

 từ A xuống đáy BI của tam giác BIA.

+ Hai chiều cao của hai tam giác trên cũng là chiều cao của hai tam giác MIN và tam

giác MIA chung đáy MI. Do vậy ta suy ra: S_MIN = $\frac{2}{5}$S_MIA.

+ Mặt khác tam giác MIN và tam giác MIA có chung chiều cao hạ từ I xuống đáy MN và AM, nên MN = $\frac{2}{5}$AM hay: MN = $\frac{2}{7}$AN . Mà AN = 14cm. Nên :

MN = (14 : 7) $\times \,$2 = 4 (cm)

+ Vậy : MN = 4 cm

+ Do  S_MIN + S_MIA = S_NIA và S_MIN = $\frac{2}{5}$S_MIA , nên : S_MIN = $\frac{2}{7}$S_NIA.

+ S_ANC = $\frac{3}{5}$S_ABC (do chung chiều cao hạ từ A và NC = $\frac{3}{5}$BC).

   S_ANC = (150 : 5) $\times $ 3 = 90 (cm²)

+ S_NIA = $\frac{1}{2}$S_ANC (do chung chiều cao hạ từ N và hai đáy IA=IC)

   S_NIA = 90 : 2 = 45 (cm²).

+ Mà S_MIN = $\frac{2}{7}$S_NIA , nên : S_MIN = $\frac{2}{7}\,\times \,$45 = $\frac{90}{7}$(cm²)

+ Vậy : S_MIN = $\frac{90}{7}$cm².