Bài giải:

Nối M với D

M là trung điểm của BC nên BM = MC = 1/2 BC

DC = 1/3 AC hay AD = 2/3 AC

Ta có:

${{S}_{AM\text{D}}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}$ (chung chiều cao hạ từ A xuống BC, đáy CM =1/2 BC)

${{S}_{DMC}}=\frac{1}{3}{{S}_{AMC}}$ (chung chiều cao hạ từ M xuống AC, đáy DC =1/3 AC)

Từ đây suy ra: ${{S}_{DMC}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}$  (1)

Tiếp theo ta có:

${{S}_{ABM}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{AMC}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}$

${{S}_{AM\text{D}}}={{S}_{AMC}}-{{S}_{DMC}}=\frac{2}{3}{{S}_{AMC}}$ Hay ${{S}_{AM\text{D}}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}$

Từ đây suy ra: $\frac{{{S}_{AM\text{D}}}}{{{S}_{ABM}}}=\frac{2}{3}$

Mà AMD và ABM chung đáy AM nên chiều cao hạ từ D bằng 2/3 chiều cao hạ từ B xuống AM

Đó cũng là tỉ số hai chiều cao tương ứng của IDM và BIM

Vì IDM và BIM chung đáy IM nên ${{S}_{DIM}}=\frac{2}{3}{{S}_{BIM}}$ hay = $\frac{2}{5}{{S}_{B\text{D}M}}$

Mặt khác:

+)${{S}_{B\text{D}C}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}$ (chung chiều cao hạ từ B xuống AC, đáy DC = 1/3AC)

+)${{S}_{B\text{D}M}}=\frac{1}{2}{{S}_{B\text{D}C}}$ (chung chiều cao hạ từ D xuống BC, đáy BM = 1/2BC)

Từ đây suy ra: ${{S}_{B\text{D}M}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}$

Do đó: ${{S}_{DIM}}=\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}\times \frac{2}{5}=\frac{1}{15}{{S}_{ABC}}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${{S}_{DIMC}}=\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}+\frac{1}{15}{{S}_{ABC}}=\frac{7}{30}{{S}_{ABC}}$

Diện tích ABC là

10 x15 : 2 = 75 (cm2)

Diện tích DIMC là

$75\times \frac{7}{30}=17,5\left( c{{m}^{2}} \right)$