Bài giải:

+)${{S}_{ABE}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}};{{S}_{A\text{D}E}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABE}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}$

Suy ra: ${{S}_{DECB}}=\frac{3}{4}{{S}_{ABC}}$

+)${{S}_{DBM}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABM}};{{S}_{EMC}}=\frac{1}{2}{{S}_{AMC}}$

Suy ra: ${{S}_{DBM}}+{{S}_{EMC}}=\frac{1}{2}({{S}_{ABM}}+{{S}_{AMC}})=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}$

$\Rightarrow {{S}_{DME}}=\frac{3}{4}{{S}_{ABC}}-\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}$

+)$\frac{{{S}_{A\text{D}E}}}{{{S}_{DME}}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}:\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}=1$  

Suy ra: IA = IM

${{S}_{A\text{D}M}}=2\times {{S}_{DMI}}=\frac{1}{8}{{S}_{ABC}}$

Mà ${{S}_{A\text{D}M}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABM}}\Rightarrow {{S}_{ABM}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}$

$\Rightarrow BM=\frac{1}{4}BC$ hay $\frac{BC}{BM}=4$