Bài giải

ΔABC có đường cao h_a , h_b , h_c tỉ lệ thuận với ba số 4; 5; 6

 $\frac{{{h}_{a}}}{4}=\frac{{{h}_{b}}}{5}=\frac{{{h}_{c}}}{6}$ = k

Suy ra : h_a = 4k ; h_b = 5k ; h_c = 6k

Mặt khác :  ah_a = bh_b = ch_c với a, b, c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác

nên ta có :

4ka = 5kb = 6kc

$\Rightarrow$  4a = 5b = 6c

 $\Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{4}}=\frac{b}{\frac{1}{5}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}=\frac{37}{\frac{37}{60}}=60$

Vậy a = 15 ; b = 12 ; c = 10

Kết luận : độ dài cạnh nhỏ nhất của của tam giác ABC là: 10cm