Đồ thị (C) có tiệm cận đứng: ${{\Delta }_{1}}:x-3=0$ và tiệm cận ngang ${{\Delta }_{2}}:y-3=0$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ với ${{y}_{0}}=\frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-3}\,\,\,\left( {{x}_{0}}\ne 3 \right)$. Ta có:

$d\left( M,{{\Delta }_{1}} \right)=2.d\left( M,{{\Delta }_{2}} \right)\Leftrightarrow \left| {{x}_{0}}-3 \right|=2.\left| {{y}_{0}}-3 \right|$

$\Leftrightarrow \left| {{x}_{0}}-3 \right|=2.\left| \frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-3}-3 \right|\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{0}}=-1 \\  & {{x}_{0}}=7 \\ \end{align} \right.$

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là   ${{M}_{1}}\left( -1;1 \right)$ và ${{M}_{2}}\left( 7;5 \right)$