Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P)

(Q) có vectơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{Q}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{P}}} \right]=\left( -1;-5;-7 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q). Do đó. Điểm trên $\Delta :A\left( 1;1;-2 \right)$

Vectơ chỉ phương của $\Delta $:

$\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=$$\left( \left| \begin{matrix}   -3 & 2  \\   -5 & -7  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}   2 & 1  \\   -7 & -1  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}   1 & -3  \\   -1 & -5  \\\end{matrix} \right| \right)$$=\left( 31;5;-8 \right)$

PTTS của $\Delta :\left\{ \begin{align}  & x=1+31t \\  & y=1+5t \\  & z=-2-8t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$