Để đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận thì nó phải có 2 tiệm cận đứng và một tiệm cậng ngang. Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì phương trình $g(x)=m{{x}^{2}}-2x+3=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\  & \Delta {{'}_{g(x)}}=1-3m>0 \\  & g(1)=m+1\ne 0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 0;m\ne -1 \\  & m<\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.(*)$ . Với điều kiện (*) đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang là $y=0$ .

Vậy với $\left\{ \begin{align}  & m\ne 0;m\ne -1 \\  & m<\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.$ thì đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận.