Giả sử cạnh đáy của lăng trụ bằng x. Khi đó $V={{S}_{d}}h=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}h\Rightarrow =\frac{4V}{{{x}^{2}}\sqrt{3}}$

Diện tích toàn phần của lăng trụ là:

 ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{2d}}=3xh+2\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{2V\sqrt{3}}{x}+\frac{2V\sqrt{3}}{x}+\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{x}=A$

Áp dụng BĐT Cosi ta có $A\ge 3\sqrt[3]{\frac{2V\sqrt{3}}{x}.\frac{2V\sqrt{3}}{x}.\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{x}}=3\sqrt[3]{6{{V}^{2}}\sqrt{3}}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{2V\sqrt{3}}{x}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{x}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=4Vx=\sqrt[3]{4V}$