Chọn: Đáp án B

Gọi O’ là trung điểm của trục O₁O của hình trụ thì O’ là tâm mặt cầu đã cho. Kí hiệu h và r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ thì diện tích thiết diện qua trục là ${{S}_{td}}=2r.h$

Mặt khác ${{R}^{2}}=O'{{A}^{2}}={{r}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4}\Rightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}$

Từ đó ${{S}_{td}}=h\sqrt{4{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}\left( 4{{R}^{2}}-{{h}^{2}} \right)}$

Vậy ${{S}_{td}}$lớn nhất khi và chỉ khi $h=R\sqrt{2}$

Khi đó $r=\sqrt{{{R}^{2}}=\frac{1}{4}.2{{R}^{2}}}=\frac{R\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{2}$, tức là thiết diện qua trục là hình vuông

$V=\pi {{r}^{2}}h=2\pi {{r}^{2}}.r=2\pi {{r}^{3}}=\frac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{2}}{2};S{{t}_{p}}=2\pi {{r}^{3}}+2\pi rh=3\pi {{R}^{2}}$