Chọn: Đáp án C

Giả sử $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$, ta có:

$u=\left( z+3-i \right)\left( \overline{z}+1+3i \right)=\left[ x+3+\left( y-1 \right)i \right]\left[ x+1-\left( y-3 \right)i \right]={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-4y+6+2\left( x-y-4 \right)i$

Theo giả thiết $u\in \mathbb{R}\Leftrightarrow x-y-4=0$

Cách 1: $\left| z \right|$ min ó ${{\left| z \right|}^{2}}$ min

${{\left| z \right|}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=2{{y}^{2}}+8y+16=2{{\left( y+2 \right)}^{2}}+8\ge 8$

Dấu “=” xảy ra khi $y=-2\Rightarrow x=2$

Vậy $\left| z \right|$min ó $z=2-2i\Rightarrow {{\left| z \right|}_{\min }}=2\sqrt{2}$

Cách 2: Giả sử $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn của z thì ${{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }}\Leftrightarrow OM\bot d$

Ta tìm được $M\left( 2;-2 \right)\Leftrightarrow z=2-2i\Leftrightarrow {{\left| z \right|}_{\min }}=2\sqrt{2}$