Chọn: Đáp án D

Trong mặt phẳng$\left( B{{B}^{'}}{{C}^{'}}C \right)$ ,${{B}^{'}}N$cắt$BC$tại $D$

Khi đó:$C$ là trung điểm$BD$ và$\widehat{BAD}={{90}^{0}}$

Gọi$E$ là trung điểm$AD$ , ta có:$CE\bot AD$. Dựng$CH\bot NE\left( H\in NE \right)$ .

$AD\bot CE$ và$AD\bot CN\Rightarrow AD\bot \left( CNE \right)\Rightarrow AD\bot CH$

$CH\bot NE$ và$CH\bot AD\Rightarrow CH\bot \left( A{{B}^{'}}N \right)$

Ta có:$CE=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2},CN=\frac{1}{2}C{{C}^{'}}=\frac{3a}{4}$

$\frac{1}{C{{H}^{2}}}=\frac{1}{C{{E}^{2}}}+\frac{1}{C{{N}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{16}{9{{a}^{2}}}=\frac{52}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow CH=\frac{3a}{2\sqrt{13}}$

Do đó: $d\left( M;\left( A{{B}^{'}}N \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( C;\left( A{{B}^{'}}N \right) \right)=\frac{3}{2}CH=\frac{9a}{4\sqrt{13}}$