Chọn: Đáp án A

Tam giác$ABC$ đều cạnh$a$ và$M$ là trung điểm $BC$

nên :$AM\bot BC$ và$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$AM\bot BC$ và$A{{A}^{'}}\bot BC\Rightarrow {{A}^{'}}M\bot BC$

$\Rightarrow $ Góc giữa hai mặt phẳng$\left( {{A}^{'}}BC \right)$ và$\left( ABC \right)$ là$\widehat{{{A}^{'}}MA}={{60}^{0}}$.

Tam giác${{A}^{'}}AM$vuông góc tại$A$ nên:

$A{{A}^{'}}=AM.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}$

Diện tích hình chữ nhật$B{{B}^{'}}{{C}^{'}}C$ là:${{S}_{B{{B}^{'}}{{C}^{'}}C}}=B{{B}^{'}}.BC=\frac{3{{a}^{2}}}{2}$

$AM\bot BC$ và$AM\bot B{{B}^{'}}\Rightarrow AM\bot \left( B{{B}^{'}}{{C}^{'}}C \right)$

Thể tích khối chóp$A.B{{B}^{'}}{{C}^{'}}C$ là:$V=\frac{1}{3}.{{S}_{B{{B}^{'}}{{C}^{'}}C}}.AM=\frac{1}{3}.\frac{3{{a}^{2}}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$  (đvdt)