Chọn: Đáp án A

Gọi$x+iy\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ là một căn bậc hai của$1+4\sqrt{3i}$ , ta có

${{\left( x+iy \right)}^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi=1+4\sqrt{3i}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1\left( 1 \right) \\  & xy=2\sqrt{3}\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$

$\left( 2 \right)\Rightarrow y=\frac{2\sqrt{3}}{x}\left( x\ne 0 \right)\left( 3 \right)$

Thay $\left( 3 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được${{x}^{2}}-\frac{12}{{{x}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{4}}-{{x}^{2}}-12=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4$ (nhận) ${{x}^{2}}=-3$   (loại)

* Với $x=2$ thì$y=\sqrt{3}$

* Với$x=-2$ thì $y=-\sqrt{3}$

Vậy căn bậc hai của $1+4\sqrt{3i}$ là$\pm \left( 2+\sqrt{3i} \right)$