Với $x-1>0\to x>1$

            ${{2}^{x}}+x-1\ge 0\to {{2}^{x}}>-\left( x-1 \right)$: Hiển nhiên đúng do ${{2}^{x}}>0>-\left( x-1 \right)$

Với $x-1<0\to x<1$

            ${{2}^{x}}+x-1\le 0\to {{2}^{x}}+x-1\le 0\,\,\left( 1 \right)$

$f\left( x \right)={{2}^{x}}+x-1$ trên $\left( -\infty ;1 \right]$

$f'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+1>0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right]\to f\left( x \right)$ đồng biến trên R.

Do đó, từ $\left( 1 \right)\to f\left( x \right)\le f\left( 0 \right)\to x\le 0$

Vậy nghiệm của BPT là $x\le 0$ hay $x>1$