$\log \left( 3{{x}^{2}}+1 \right)>\log \left( 4x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 4x>0 \\  & 3{{x}^{2}}+1>4x \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x>0 \\  & 3{{x}^{2}}-4x+1>0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x>0 \\  & x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\cup \left( 1;+\infty  \right) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left( 0;\frac{1}{3} \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)$