Gọi: $d:y=2x+m$ và  (H): $y=\frac{x+1}{x-1}$

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (H) là $\frac{x+1}{x-1}=2x+m$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-\left( 1+m \right)=0\,\left( * \right)\left( x\ne 1 \right)$

Ta thấy $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+16>0\forall m\to d$ cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B

$A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}-{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left[ 2{{x}_{B}}+m-\left( 2{{x}_{A}}+m \right) \right]}^{2}}$

$=5{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}=5\left[ {{\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)}^{2}}-4{{x}_{A}}.{{x}_{B}} \right]=5\left[ {{\left( \frac{m-3}{2} \right)}^{2}}+4\left( \frac{m+1}{2} \right) \right]=\frac{5}{4}\left[ {{\left( m+1 \right)}^{2}}+16 \right]\ge \frac{5}{4}.16=20$Đẳng thức xảy ra khi $m=-1$. Vậy $MinAB=2\sqrt{5}\Leftrightarrow m=-1$