Gọi I là tâm của mặt cầu (S), I $\in d$ nên $I\left( -t;2+t;3+2t \right)$

Vì (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$và $\left( \beta  \right)$ nên $d\left( I\left( \alpha  \right) \right)=d\left( I,\left( \beta  \right) \right)$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 5t+11 \right|}{3}=\frac{\left| 7t+1 \right|}{3}\Leftrightarrow \left| 5t+11 \right|=\left| 7t+1 \right|\Leftrightarrow t=5,t=-1$

+) $t=-1\Rightarrow I\left( 1;1;1 \right),R=2$. Phương trình mặt cầu (S):

${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$

+) $t=5\Rightarrow I\left( -5;7;13 \right),R=12$. Phương trình mặt cầu (S):

${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}+{{\left( z-13 \right)}^{2}}=144$