Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$

Do A,B,C,D thuộc (S) nên ta có hệ phương trình$\left\{ \begin{align}  & 2a+4c-d-5=0 \\  & 2a+2b-d-2=0 \\  & 2c-d-1=0 \\  & 2a+2b+2c-d-3=0 \\ \end{align} \right.$

Giải hệ ta có: $a=\frac{3}{2},b=-\frac{1}{2},c=\frac{1}{2},d=0$

Vậy phương trình mặt cầu (S) là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}-3x+y-z=0$

Suy ra (S) có tâm là $I\left( \frac{3}{2};-\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)$ và bán kính $R=\frac{\sqrt{11}}{2}$