Gọi x là chiều dàu của đoạn dây thành hình tròn $\left( 0

cuộn thành hình vuông là : $1-x.$

Chu bi hình tròn với R là bán kính :$2\pi R=x\Rightarrow R=\frac{x}{2\pi }$

Diện tích hình tròn : ${{S}_{tr}}=\pi {{R}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}}{4\pi }$

Diện tích hình vuông :${{S}_{hv}}={{\left( \frac{1-x}{4} \right)}^{2}}$

Tổng diện tích 2 hình : $S=\frac{{{x}^{2}}}{4\pi }+{{\left( \frac{1-x}{4} \right)}^{2}}\ge \frac{{{\left( x+1-x \right)}^{2}}}{4\pi +16}=\frac{1}{4\pi +16}$

(Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng Engel)

Dấu bằng có khi và chỉ khi $\frac{x}{4\pi }=\frac{1-x}{16}$

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau : $\frac{x}{4\pi }=\frac{1-x}{16}=\frac{x+1-1}{4\pi +16}=\frac{1}{4\pi +16}\Rightarrow x=\frac{4\pi }{4\pi +16}=\frac{\pi }{\pi +4}$

Vậy độ dài 2 đoạn dãy cuộn thành hình tròn và hình vuông lần lượt là : $\frac{\pi }{\pi +4}$ và$\frac{4}{\pi +4}$