Áp dụng đinh lý cosin cho tam giác A’B’D suy ra $\widehat{B\prime A\prime D\prime }=1{{20}^{0}}$

Do đó A’B’C’ , A’C’D’ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$ .

Gọi $O=A\prime C\prime \cap B\prime D,$ Ta có $BO\bot \left( A\prime B\prime C\prime D\prime  \right).$

Kẻ $OH\bot A\prime B\prime $ tại H, suy ra $A\prime B\prime \bot \left( BHO \right).$ Do đó $\widehat{\left( \left( ABCD \right),\left( CDD\prime C\prime  \right) \right)}=\widehat{BHO}$

Từ $\cos \widehat{BHO}=\frac{\sqrt{21}}{7}\Rightarrow \tan \widehat{BHO}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow BO=HO.\tan \widehat{BHO}=A\prime O.\sin {{60}^{0}}.\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Bán kính mặt cầu ngoài tiếp tứ diện A’BC’D’,

Vì $BO=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}A\prime C\prime $ nên tam giác A’BC’ vuông tại B

Vì $B\prime D\prime \bot \left( A\prime BC\prime  \right)$ nên B’D’ là trực đường tròn ngoài tiếp tam giác A’BC’,

Gọi G là tâm của tam giác đều A’BC’D’ , mặt cầu này có bán kính $R=GD\prime =\frac{2}{3}OD\prime =\frac{2}{3}.\frac{3a}{2}=a$