Ta có đường thẳng (d) đi qua $M\left( 0,0,-3 \right),$ VTCP $\overrightarrow{a}=\left( 2;4;1 \right)$

Gọi (a) là mặt phẳng đi qua A. $\bot \left( d \right)$ nên (a0 nhận $\overrightarrow{{{n}_{a}}}=\left( 2;4;1 \right)$ làm VTPT.

Phương trình (a) :$2\left( x-3 \right)+4\left( y-2 \right)+1\left( z-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow 2x+4y+z-15=0$

Phương trình tham số của (d) là : $\left\{ \begin{align}  & x=2t \\  & y=4t \\  & z=-3+t \\ \end{align} \right.$

Thế vào phương trình

$\left( a \right):2\left( 2t \right)+4\left( 4t \right)+\left( -3+t \right)-15=0\Rightarrow t=\frac{6}{7}$

Vậy $d\cap \left( a \right)=B\left( \frac{12}{7};\frac{24}{7};\frac{-15}{7} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -\frac{9}{7};\frac{10}{7};-\frac{22}{7} \right)$

Vậy phương trinhg đường thẳng $\Delta $ qua A, cắt vuông góc với (d) chính là đường thẳng

$AB:\left\{ \begin{align}  & x=3+9t \\  & y=2-10t \\  & z=1+22t \\ \end{align} \right.$