Điều kiện xác định $x>0,x\ne 1$. Ta có

$\begin{align}  & 24{{x}^{6}}-2{{x}^{5}}+27{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+1997{{x}^{2}}+2016 \\  & ={{x}^{4}}\left( 24{{x}^{2}}-2x+1 \right)+{{x}^{2}}\left( 26{{x}^{2}}-2x+1 \right) \\  & +1996{{x}^{2}}+2016>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align}$

Mặt khác, đặt $y={{\log }_{x}}\frac{22}{3}$ và kết hợp với ${{\log }_{x}}\frac{22}{3}=\frac{1}{{{\log }_{\frac{22}{3}}}x}$, ta được

$\begin{align}  & \sqrt{2{{y}^{2}}-2y+5}+\sqrt{2{{y}^{2}}-4y+4} \\  & =\sqrt{{{\left( \sqrt{2}y \right)}^{2}}-2\sqrt{2}y.\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}+\frac{9}{2}} \\ \end{align}$

$\begin{align}  & +\sqrt{{{\left( \sqrt{2}y \right)}^{2}}-2.\sqrt{2}y.\sqrt{2}+2+2} \\  & =\sqrt{{{\left( \sqrt{2}y-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \sqrt{2}y-\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}} \\ \end{align}$

Đặt $\overrightarrow{a}=\left( \sqrt{2}y-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{3}{\sqrt{2}} \right);\overrightarrow{b}=\left( \sqrt{2}-\sqrt{2}y;\sqrt{2} \right)$

Suy ra

$\begin{align}  & \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)=\left( \sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}} \right) \\ & \Rightarrow \left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{{{\left( \sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}} \\ \end{align}$

Ta có bất đẳng thức (bổ đề) sau $\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|\ge \left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$cùng hướng.

Do đó

$\begin{align}  & \sqrt{{{\left( \sqrt{2}y-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \sqrt{2}-\sqrt{2}y \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}} \\  & \ge \sqrt{{{\left( \sqrt{2}y-\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}-\sqrt{2}y \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{\sqrt{2}}+\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{13} \\ \end{align}$

Suy ra $\sqrt{2{{y}^{2}}-2y+5}-\sqrt{13}+\sqrt{2{{y}^{2}}-4y+4}\ge 0$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng hướng

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}y-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\sqrt{2}y}=\frac{\frac{3}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}>0\Leftrightarrow 2\left( \sqrt{2}y-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

$\begin{align}  & =3\left( \sqrt{2}-\sqrt{2}y \right) \\  & \Leftrightarrow 2\sqrt{2}y-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-3\sqrt{2}y\Leftrightarrow 5\sqrt{2}y=4\sqrt{2} \\ \end{align}$

$\Leftrightarrow y=\frac{4}{5}$ (nhận)

Từ đó ta được

$\begin{align}  & \left( \sqrt{2{{y}^{2}}-2y+5}-\sqrt{13}+\sqrt{2{{y}^{2}}-4y+4} \right) \\  & \left( 24{{x}^{6}}-2{{x}^{5}}+27{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+1997{{x}^{2}}+2016 \right)\le 0 \\ \end{align}$

Kết hợp đề suy ra

$\begin{align}  & \left( \sqrt{2{{y}^{2}}-2y+5}-\sqrt{13}+\sqrt{2{{y}^{2}}-4y+4} \right) \\  & \left( 24{{x}^{6}}-2{{x}^{5}}+27{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+1997{{x}^{2}}+2016 \right)=0 \\ \end{align}$

Nhận thấy $y=\frac{4}{5}$ là nghiệm duy nhất.

Từ đó suy ra

${{\log }_{x}}\frac{22}{3}=\frac{4}{5}\Leftrightarrow {{x}^{\frac{4}{5}}}=\frac{22}{3}\Leftrightarrow \ln {{x}^{\frac{4}{5}}}=\ln \frac{22}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{5}\ln x=\ln \frac{22}{3}\Leftrightarrow \ln x=\frac{\ln \frac{22}{3}}{\frac{4}{5}}\Leftrightarrow x={{e}^{\frac{5}{4}\ln \frac{22}{3}}}$

Vậy giá trị tổng các nghiệm cần tìm là

${{e}^{\frac{5}{4}\ln \frac{22}{3}}}\approx 12,1$. Ta chọn phương án B.