Với ${{\log }_{b}}\sqrt{c}={{x}^{2}}+1$, ta suy ra

$\frac{1}{2}{{\log }_{b}}c={{x}^{2}}+1\Rightarrow {{\log }_{b}}c=2{{x}^{2}}+2$

Với ${{\log }_{{{a}^{2}}}}\sqrt{{{b}^{3}}}=x$, ta suy ra

$\frac{1}{2}.\frac{3}{2}{{\log }_{a}}b=x\Rightarrow {{\log }_{a}}b=\frac{4}{3}x$.

Với ${{\log }_{\sqrt[3]{c}}}a=x$, ta suy ra $3{{\log }_{c}}a=x\Rightarrow {{\log }_{c}}a=\frac{x}{3}$.

Mặt khác ta có đẳng thức ${{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c.{{\log }_{c}}a=1$, do đó:

$\frac{4}{3}x.\left( 2{{x}^{2}}+2 \right).\frac{x}{3}=1\Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-\frac{9}{8}=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}=\frac{-2+\sqrt{22}}{4} \\  & {{x}^{2}}=\frac{-2-\sqrt{22}}{4}<0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{-2+\sqrt{22}}{4}}$

Vậy $Q\approx -1982$ hoặc $Q\approx -1979$.

Ta chọn phương án C.