Ta có

$I=\int_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}=\int_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{3}}.\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\int_{1}^{2}{\frac{x}{{{x}^{4}}.\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}dx}$

Đặt $t={{x}^{2}}+1$, suy ra $dt=2xdx\Leftrightarrow \frac{1}{2}dt=xdx$.

Đổi cận $x=1\Rightarrow t=2,x=2\Rightarrow t=5$.

Suy ra $I=\int_{2}^{5}{\frac{1}{2}.\frac{1}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}.t}dt}$.

Ta cần tách tiếp $\frac{1}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}.t}$ về dạng $\frac{mt+n}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}+\frac{k}{t}$ để có thể lấy nguyên hàm được. Dễ dàng tìm được $m,n,k$ bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ta tìm được $m=-1,n=2,k=1$.

Suy ra $I=\frac{1}{2}\int_{2}^{5}{\left[ \frac{1}{t}+\frac{2-t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}} \right]}dt$

$=\left. \frac{1}{2}\ln \left| x \right| \right|_{2}^{5}-\left. \frac{1}{2}.\frac{1}{t-1} \right|_{2}^{5}-\left. \frac{1}{2}\ln \left| t-1 \right| \right|_{2}^{5}$

$=\frac{1}{2}\ln \frac{5}{2}-\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{4}-1 \right)-\frac{1}{2}\ln 4=\frac{1}{2}\ln \frac{5}{8}+\frac{3}{8}$

Suy ra $a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{8}\Rightarrow a+2b=\frac{5}{4}$.

Ta chọn phương án B.